На единичной окружности отмечены две диаметрально противоположные. Простейшие тригонометрические уравнения. Основные положения сферической геометрии

Итоговая работа по МАТЕМАТИКЕ
10 класс
28 апреля 2017 года
Вариант МА00602
(базовый уровень)
Выполнена: ФИО_______________________________________ класс ______
Инструкция по выполнению работы
На выполнение итоговой работы по математике даётся 90 минут. Работа
включает в себя 15 заданий и состоит из двух частей.
Ответом в заданиях первой части (1-10) является целое число,
десятичная дробь или последовательность цифр. Запишите ответ в поле
ответа в тексте работы.
В задании 11 второй части требуется записать ответ в специально
отведённом для этого поле.
В заданиях 12-14 второй части требуется записать решение и ответ
в специально отведённом для этого поле. Ответом к заданию 15 является
график функции.
Каждое из заданий 5 и 11 представлено в двух вариантах, из которых
надо выбрать и выполнить только один.
При выполнении работы нельзя пользоваться учебниками, рабочими
тетрадями, справочниками, калькулятором.
При необходимости можно пользоваться черновиком. Записи в черновике проверяться и оцениваться не будут.
Выполнять задания можно в любом порядке, главное — правильно
решить как можно больше заданий. Советуем Вам для экономии времени
пропускать задание, которое не удается выполнить сразу, и переходить
к следующему. Если после выполнения всей работы у Вас останется время,
можно будет вернуться к пропущенным заданиям.
Желаем успеха!

Часть 1
В заданиях 110 дайте ответ в виде целого числа, десятичной дроби или
последовательности цифр. Запишите ответ в поле ответа в тексте
работы.
1

Цена на электрический чайник была повышена на 10 % и составила
1980 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?

Олег и Толя одновременно вышли из школы и пошли домой одной и той же
дорогой. Живут мальчики в одном доме. На рисунке изображён график
движения каждого: Олега — сплошной линией, Толи — пунктирной. По
вертикальной оси отложено расстояние (в метрах), по горизонтальной оси —
время движения каждого в минутах.

Пользуясь графиком, выберите верные утверждения.
1)
2)
3)

Олег пришёл домой раньше Толи.
Через три минуты после выхода из школы Олег догнал Толю.
На протяжении всего пути расстояние между мальчиками было менее
100 метров.
4) За первые шесть минут мальчики прошли одинаковое расстояние.

Ответ: ___________________________

Найдите значение выражения

π
π
 2 sin 2 .
8
8

Ответ: ___________________________
СтатГрад 2016−2017 учебный год. Публикация в Интернете или печатных изданиях
без письменного согласия СтатГрад запрещена

Математика. 10 класс. Вариант 00602 (базовый уровень)

На единичной окружности отмечены две
диаметрально противоположные точки Pα и
Pβ , соответствующие поворотам на углы α и
β (см. рисунок).
Можно ли утверждать, что:
1) α  β  0
2) cosα  cosβ
3) α  β  2π
4) sin α  sin β  0

В ответе укажите номера верных утверждений без пробелов, запятых и
других дополнительных символов.
Ответ: ___________________________
Выберите и выполните только ОДНО из заданий 5.1 или 5.2.
5.1

На рисунке изображён график
функции y  f (x) , определённой на интервале   3;11 .
Найдите наименьшее значение
функции на отрезке  1; 5 .

Ответ: ___________________________
5.2

Решите уравнение log 2 4 x5  6.

Ответ: ___________________________

СтатГрад 2016−2017 учебный год. Публикация в Интернете или печатных изданиях
без письменного согласия СтатГрад запрещена

Математика. 10 класс. Вариант 00602 (базовый уровень)

Плоскость, проходящая через точки А, В и С (см.
рисунок), разбивает куб на два многогранника. Один из
них имеет четыре грани. Сколько граней имеет второй?

Ответ: ___________________________
7

Выберите номера верных утверждений.
1)
2)
3)
4)

В пространстве через точку, не лежащую на данной прямой, можно
провести плоскость, не пересекающую данную прямую, и притом только
одну.
Наклонная, проведённая к плоскости, образует один и тот же угол со
всеми прямыми, лежащими в этой плоскости.
Через любые две пересекающиеся прямые можно провести плоскость.
Через точку в пространстве, не лежащую на данной прямой, можно
провести две прямые, не пересекающие данную прямую.

В ответе укажите номера верных утверждений без пробелов, запятых и
других дополнительных символов.
Ответ: ___________________________
8

На птицеферме есть только куры и утки, причём кур в 7 раз больше, чем
уток. Найдите вероятность того, что случайно выбранная на этой ферме
птица окажется уткой.
Ответ: ___________________________

Крыша навеса расположена под углом 14
к горизонтали. Расстояние между двумя опорами
составляет 400 сантиметров. Пользуясь таблицей,
определите, на сколько сантиметров одна опора
длиннее другой.
α
13
14
15
16
17
18
19

Sin α
0,225
0,241
0,258
0,275
0,292
0,309
0,325

Cos α
0,974
0,970
0,965
0,961
0,956
0,951
0,945

Tg α
0,230
0,249
0,267
0,286
0,305
0,324
0,344

Математика. 10 класс. Вариант 00602 (базовый уровень)

Найдите наименьшее натуральное семизначное число, которое делится на 3,
но не делится на 6 и каждая цифра которого начиная со второй меньше
предыдущей.
Ответ: ___________________________
Часть 2
В задании 11 запишите ответ в отведённом для этого поле. В заданиях
12-14 требуется записать решение и ответ в специально отведённом
для этого поле. Ответом к заданию 15 является график функции.
Выберите и выполните только ОДНО из заданий: 11.1 или 11.2.

2
. Запишите три различных возможных значения
2
таких углов. Ответ дайте в радианах.

Найдите наименьшее натуральное число, которое больше чем log 7 80 .

Косинус угла равен 

Математика. 10 класс. Вариант 00602 (базовый уровень)

В треугольнике АВС на сторонах АВ и ВС отмечены
точки М и К соответственно так, что BM: AB  1: 2 , а
BK: BC  2: 3 . Во сколько раз площадь треугольника АВС
больше площади треугольника МВК?

Подберите какую-нибудь пару чисел a и b так, чтобы неравенству ax  b  0
удовлетворяли ровно три из отмеченных на рисунке пяти точек.
-1

Математика. 10 класс. Вариант 00602 (базовый уровень)

Цена утюга была дважды повышена на одно и то же число процентов. На
сколько процентов повышалась цена утюга каждый раз, если его
первоначальная стоимость 2000 рублей, а окончательная 3380 рублей?

Математика. 10 класс. Вариант 00602 (базовый уровень)

Функция y  f (x) обладает следующими свойствами:
1) f (x)  3 x  4 при 2  x  1 ;
2) f (x)  x  2 при 1  x  0 ;
3) f (x)  2  2 x при 0  x  2 ;
4) функция y  f (x) периодична с периодом 4.
Изобразите график этой функции на отрезке  6;4 .
y

+ – 0;2 П; 4 П. - 2 П; -4 П. П -11 П 6 П -7 П 4 П -5 П 3 2 П -4 П 3 3 П -4 П П -7 П П -5 П П -3 П П -2 П П - П П - П П - П П 2 5 П 2 П 2 9 П 2 5 П 2 П 2 11 П 2 7 П 2 3 П 2 11 П 2 7 П 2 3 П 2 5 П;3 П; П. -5 П;-3 П;- П. 360° 30° 60° 45° 90° 120° 135° 150° 180° 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° X y 0

0 y X 5 П,14 -П-П ± П 2П 2 ± П П k, k Z (-1) k П 4П 4 + П g, g Z П 3П 3 ± + 2 П n, n Z П 6П 6 + П 3П 3 m, m Z Найдите точки, соответствующие следующим числам

0 y X - П +2 П k, k Z П 3П П n, n Z П m, m Z П (+ m), m Z 2П 32П П n, n Z П 2П 2 П П n, n Z 1 3 П (+2 l), l Z Найдите точки, соответствующие следующим числам

1.Какой четверти числовой окружности принадлежит точка А. Первой. Б. Второй. В. Третьей. Г. Четвертой. 2.Какой четверти числовой окружности принадлежит точка А. Первой. Б. Второй. В. Третьей. Г. Четвертой. 3.Определите знаки чисел a и b, если: А. а>0, b>0. Б. a 0. B. a>0, b0, b 0"> 0, b>0. Б. a 0. B. a>0, b0, b"> 0" title="1.Какой четверти числовой окружности принадлежит точка А. Первой. Б. Второй. В. Третьей. Г. Четвертой. 2.Какой четверти числовой окружности принадлежит точка А. Первой. Б. Второй. В. Третьей. Г. Четвертой. 3.Определите знаки чисел a и b, если: А. а>0"> title="1.Какой четверти числовой окружности принадлежит точка А. Первой. Б. Второй. В. Третьей. Г. Четвертой. 2.Какой четверти числовой окружности принадлежит точка А. Первой. Б. Второй. В. Третьей. Г. Четвертой. 3.Определите знаки чисел a и b, если: А. а>0">

Когда-то я стал свидетелем разговора двух абитуриентов:

– Когда надо прибавить 2πn, а когда – πn? Никак не могу запомнить!

– И у меня такая же проблема.

Так и хотелось им сказать: «Не запоминать надо, а понимать!»

Данная статья адресована прежде всего старшеклассникам и, надеюсь, поможет им с «пониманием» решать простейшие тригонометрические уравнения:

Числовая окружность

Наряду с понятием числовой прямой есть еще и понятие числовой окружности. Как мы знаем, в прямоугольной системе координат окружность,с центром в точке (0;0) и радиусом 1, называется единичной. Вообразим числовую прямую тонкой нитью и намотаем ее на эту окружность: начало отсчета (точку 0), приставим к «правой» точке единичной окружности, положительную полуось обмотаем против движения часовой стрелки, а отрицательную – по направлению (рис. 1). Такую единичную окружность называют числовой.

Свойства числовой окружности

Каждое действительное число находится на одной точке числовой окружности.
На каждой точке числовой окружности находятся бесконечно много действительных чисел. Так как длина единичной окружности равна 2π, то разность между любыми двумя числами на одной точке окружности равна одному из чисел ±2π ; ±4π ; ±6π ; …

Сделаем вывод: зная одно из чисел точки A, мы можем найти все числа точки A .

Проведем диаметр АС (рис. 2). Так как x_0 – одно из чисел точки А, то числа x_0±π ; x_0±3π; x_0±5π; … и только они будут числами точки C. Выберем одно из этих чисел, скажем, x_0+π, и запишем с его помощью все числа точки C: x_C=x_0+π+2πk ,k∈Z. Отметим, что числа на точках A и C можно объединить в одну формулу: x_(A ; C)=x_0+πk ,k∈Z (при k = 0; ±2; ±4; … получим числа точки A, а при k = ±1; ±3; ±5; … – числа точки C).

Сделаем вывод: зная одно из чисел на одной из точек A или C диаметра АС, мы можем найти все числа на этих точках.

Два противоположных числа находятся на симметричных относительно оси абсцисс точках окружности.

Проведем вертикальную хорду АВ (рис. 2). Так как точки A и B симметричны относительно оси Ox, то число -x_0 находится на точке B и, значит, все числа точки B задаются формулой: x_B=-x_0+2πk ,k∈Z. Числа на точках A и B запишем одной формулой: x_(A ; B)=±x_0+2πk ,k∈Z. Сделаем вывод: зная одно из чисел на одной из точек A или B вертикальной хорды АВ, мы можем найти все числа на этих точках. Рассмотрим горизонтальную хорду AD и найдем числа точки D (рис. 2). Так как BD – диаметр и число -x_0 принадлежит точке В, то -x_0 + π одно из чисел точки D и, значит, все числа этой точки задаются формулой x_D=-x_0+π+2πk ,k∈Z. Числа на точках A и D можно записать с помощью одной формулы: x_(A ; D)=(-1)^k∙x_0+πk ,k∈Z . (при k= 0; ±2; ±4; … получим числа точки A, а при k = ±1; ±3; ±5; … – числа точки D).

Сделаем вывод: зная одно из чисел на одной из точек A или D горизонтальной хорды AD, мы можем найти все числа на этих точках.

Шестнадцать основных точек числовой окружности

На практике решение большинства простейших тригонометрических уравнений связано с шестнадцатью точками окружности (рис. 3). Что это за точки? Красные, синие и зеленые точки делят окружность на 12 равных частей. Так как длина полуокружности равна π, то длина дуги A1A2 равна π/2, длина дуги A1B1 равна π/6, а длина дуги A1C1 равна π/3.

Теперь можем указать по одному числу на точках:

π/3 на С1 и

Вершины оранжевого квадрата – середины дуг каждой четверти, следовательно, длина дуги A1D1 равна π/4 и, значит, π/4 – одно из чисел точки D1. Воспользовавшись свойствами числовой окружности, мы можем записать с помощью формул все числа на всех отмеченных точках нашей окружности. На рисунке отмечены также и координаты этих точек (опустим описание их получения).

Усвоив выше сказанное, мы имеем теперь достаточную подготовку для решения частных случаев (для девяти значений числа a) простейших уравнений.

Решить уравнения

1) sinx=1⁄(2) .

– Что от нас требуется?

– Найти все те числа x, синус которых равен 1/2 .

Вспомним определение синуса: sinx – ордината точки числовой окружности, на которой находится число x . На окружности имеем две точки, ордината которых равна 1/2 . Это концы горизонтальной хорды B1B2 . Значит, требование «решить уравнение sinx=1⁄2 » равнозначно требованию «найти все числа на точке B1 и все числа на точке B2».

2) sinx=-√3⁄2 .

Нам надо найти все числа на точках C4 и C3.

3) sinx=1 . На окружности имеем только одну точку с ординатой 1 – точка A2 и, значит, нам надо найти только все числа этой точки.

Ответ: x=π/2+2πk , k∈Z .

4) sinx=-1 .

Только точка A_4 имеет ординату -1. Все числа этой точки и будут конями уравнения.

Ответ: x=-π/2+2πk , k∈Z .

5) sinx=0 .

На окружности имеем две точки с ординатой 0 – точки A1 и A3 . Можно указать числа на каждой из точек по отдельности, но, учитывая, что эти точки диаметрально противоположные, лучше объединить их в одну формулу: x=πk ,k∈Z .

Ответ: x=πk ,k∈Z .

6) cosx=√2⁄2 .

Вспомним определение косинуса: cosx - абсцисса точки числовой окружности на которой находится число x. На окружности имеем две точки с абсциссой √2⁄2 – концы горизонтальной хорды D1D4 . Нам нужно найти все числа на этих точках. Запишем их, объединив в одну формулу.

Ответ: x=±π/4+2πk , k∈Z .

7) cosx=-1⁄2 .

Надо найти числа на точках C_2 и C_3 .

Ответ: x=±2π/3+2πk , k∈Z .

10) cosx=0 .

Только точки A2 и A4 имеют абсциссу 0, значит, все числа на каждой из этих точках и будут решениями уравнения.
.

Решениями уравнения системы являются числа на точках B_3 и B_4 .Неравенству cosx<0 удовлетворяют только числа b_3
Ответ: x=-5π/6+2πk , k∈Z .

Заметим,что при любом допустимом значении x второй множитель положителен и, следовательно,уравнение равносильно системе

Решениями уравнения системы являются чила точек D_2 и D_3 . Числа точки D_2 не удовлетворяют неравенству sinx≤0,5 ,а числа точки D_3-удовлетворяют.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Вопрос: На окружности выбраны диаметрально противоположные точки A и B и отличная от них точка C. Касательная, проведённая к окружности в точке A, и прямая BC пересекаются в точке D. Доказать, что касательная, проведённая к окружности в точке C, делит пополам отрезок AD. Окружность вписанная в треугольник ABC касается сторон AB и BC в точках M и N соответственно. Прямая проходит через середину AC параллельно прямой. МN пересекает прямые BA и BC в точках D и E соответственно. Доказать, что AD=CE.

На окружности выбраны диаметрально противоположные точки A и B и отличная от них точка C. Касательная, проведённая к окружности в точке A, и прямая BC пересекаются в точке D. Доказать, что касательная, проведённая к окружности в точке C, делит пополам отрезок AD. Окружность вписанная в треугольник ABC касается сторон AB и BC в точках M и N соответственно. Прямая проходит через середину AC параллельно прямой. МN пересекает прямые BA и BC в точках D и E соответственно. Доказать, что AD=CE.

Ответы:

Похожие вопросы