вид сложного суждения, образованного из простых суждений при помощи союза «или». Дизъюнкция бывает нестрогой, когда ее элементы (входящие в нее простые суждения) друг друга не исключают.

Отличное определение

Неполное определение ↓

ДИЗЪЮНКЦИЯ

от лат. disjunctio - разобщение, различение)

Логическая операция - аналог употребления союза "или" в обычном языке, с помощью которой из двух или более исходных суждений строится новое суждение. Так, из суждений "Он - способен" и "Он - прилежен" с помощью операции "или" можно получить новое суждение "Он способен или он прилежен" (1). Из суждений "Он совершил преступление", "Он не совершал преступления" с помощью "или" можно получить новое суждение "Он совершил преступление или он не совершал преступления" (2). Суждение (1) истинно в трех случаях: 1) когда какой-то человек оказывается способным, но не прилежным; 2) когда этот человек оказывается прилежным, но не способным; 3) когда установлено, что этот человек и способен, и прилежен. Оно является ложным, когда оказалось, что этот человек не является ни способным, ни прилежным. Суждения типа (1) в логике называют соединительно-разделительными. Суждение же (2) истинно лишь только в том случае, когда имеет место или только первая ситуация ("Он совершил преступление"), или только вторая ситуация ("Он не совершал преступления"). Суждение (2) не допускает, чтобы имели место обе ситуации. Суждения типа (2) носят название исключающе-разделительных или строго разделительных.

Конъюнкция 1 – это суждение , полученное из любых двух других суждений посредством логического союза «и» .

Пример. Если суждения «Сегодня жарко» и «Вчера было холодно» соединить связкой «и», получится конъюнкция «Сегодня жарко и вчера было холодно».

Конъюнкция истинна только в случае , когда оба входящих в нее суждения являются истинными .

Если хотя бы один из ее членов ложен, то и вся конъюнкция ложна.

Суждение А может быть либо истинным, либо ложным, и то же самое можно сказать о суждении В . Следовательно, возможны четыре пары значений истинности для этих суждений.

Обозначим конъюнкцию символом «˄». Используется также символ «&». Таблица истинности для конъюнкции такова.

		А ˄ В

Дизъюнкция

Нестрогая дизъюнкция 2 – это суждение, полученное из любых двух суждений при помощи логического союза «или».

В повседневном языке слово «или» имеет два разных смысла. Иногда оно означает «одно или другое или оба», а иногда «одно или другое, но не оба вместе». В логике и математике слово «или» всегда употребляется в неисключающем значении.

Итак, дизъюнкция является нестрогой, если ее члены не исключают друг друга.

Пример . Суждение «В этом сезоне я хочу пойти на “Пиковую даму” или на “Аиду”» является нестрогой дизъюнкцией.

Строгая дизъюнкция ‒ это суждение , полученное из любых двух суждений при помощи логического союза «либо …, либо …» .

Пример . В суждении «Он учится в Московском или в Саратовском университете» подразумевается, что упоминаемый человек учится только в одном из этих университетов.

Нестрогая дизъюнкция означает, что, по крайней мере, одно из этих суждений истинно, независимо от того, истинны они оба или нет. Строгая дизъюнкция означает, что одно из них истинно, а второе – ложно.

Символ «v» обозначает нестрогую дизъюнкцию, символ «V» – строгую дизъюнкцию. Применяются также другие обозначения.

Нестрогая дизъюнкция истинна , когда хотя бы одно из входящих в нее суждений истинно , и ложна тогда , когда оба ее члена ложны .

Строгая дизъюнкция истинна , когда истинным является только один из ее членов , и она ложна , когда оба ее члена истинны или оба ложны .

Таблица истинности для дизъюнкции такова.

		A v В	A V B

Импликация

Импликация 3 – это суждение , полученное из любых двух суждений посредством логического союза «если …, то …» .

Примеры. «Если есть огонь, то есть дым», «Если число делится на 9, то оно делится на 3» и т.п.

Суждение, которому предпослано слово «если», называется основанием , или антецедентом 4 . Суждение, идущее после слова «то», называется следствием , или консеквентом 5 . Антецедент ‒ достаточное условие для консеквента, консеквент – необходимое условие для антецедента.

Логический союз «если..., то...» может выражаться с помощью различных языковых средств.

Пример. «Так как вода ‒ жидкость, она передает давление во все стороны равномерно».

Импликация не предполагает, что суждения А и В как-то связаны между собой по содержанию. В случае истинности В суждение «если А, то В» истинно независимо от того, является А истинным или ложным и связано оно по смыслу с В или нет.

Не может случиться так , чтобы основание было истинным, а следствие – ложным .

Только когда основание истинно, а следствие ложно, вся импликация ложна.

Примеры . Истинными считаются суждения: «Если на Солнце есть жизнь, то дважды два равно четырем», «Если Волга – озеро, то Токио – большой город» и т.п. К истинным относятся, к примеру, высказывания: «Если Солнце – куб, то Земля – треугольник», «Если дважды два равно пяти, то Токио ‒ маленький город» и т.п.

В обычном рассуждении все эти суждения вряд ли будут рассматриваться как имеющие смысл и еще в меньшей степени как истинные.

Будем обозначать импликацию символом «→». Таблица истинности для импликации такова.

		A → В

Логическое сложение (дизъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «или».

В русском языке союз «или» используется в двояком смысле.

Например, в предложении Обычно в 8 вечера я смотрю телевизор или пью чай союз «или» взят в неисключающем (объединительном) смыс­ле, так как вы можете только смотреть телевизор или только пить чай, но вы можете также пить чай и смотреть телевизор одновременно, потому что мама у вас нестрогая. Такая операция называется нестрогой дизъюн­кцией. (Если бы мама была строгая, то она разрешила бы или только смот­реть телевизор, или только пить чай, но не совмещать прием пищи с про­смотром телепередач.)

В высказывании Данный глагол I или II спряжения союз «или» ис­
пользуется в исключающем (разделительном) смысле. Такая операция
называется строгой дизъюнкцией. . ,. ,-> „ ,... > (, г>

Примеры строгих и нестрогих дизъюнкций:

Высказывание	Вид дизъюнкции
Петя сидит на западной или восточной трибуне стадиона	Строгая
Студент едет в электричке или читает книгу	Нестрогая
Оля любит писать сочинения или решать логические задачи	Нестрогая
Сережа учится в школе или окончил ее	Строгая
Завтра дождь будет или не будет (третьего не дано)	Строгая
Давайте бороться за чистоту. Чистота достигается так: или не сорить, или часто убирать	Нестрогая
Зелия движется по круговой или эллиптической орбите	Строгая
Числа можно складывать или перемножать	Нестрогая
Дети бывают или воспитанные, или не наши	?

Обозначение нестрогой дизъюнкции: А ИЛИ В; A OR В; А | В; А V В; А + В. (В данном пособии: А V В.)

Приведем пример дизъюнкции двух простых высказываний.

Допустим, из вашего окна видна автостоянка, на которой обычно стоят две машины: «Мерседес» и «Жигули», но может находиться и какая-то одна из них или не быть ни одной.

Обозначим высказывания:

А = На автостоянке стоит «Мерседес». В = На автостоянке стоят «Жигули».

(А дизъюнкция В) = На автостоянке стоит «Мерседес» или «Жигули».

Глава 3. Логичздуие операции ____________ [___________________________ Щ

Таблица., ^»-«н..;ч; i ■.■;- >i ,;,

Из таблицы истинности следует, что дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и истинна, когда хотя бы одно высказывание истинно. Иногда это свойство прини­мают за определение операции дизъюнкции.

Мнемоническое правило: дизъюнкция - это логическое сложе­ние, и мы не сомневаемся, что вы заметили, что равенства 0 + 0 = 0; 0+1 = 1;1+0=1, верные для обычного сложения, верны и для опера­ции дизъюнкции, но 1 V 1 = 1.

В слове «конъюнкция» одна буква «и», а в слове «дизъюнкция» две буквы «и», как и в слове «или».

V Л-Символ V (дизъюнкция) образован из первой буквы латинского слова Vel («или»).

«Диз» - «галочка вниз» - V.

В теории множеств дизъюнкции соответствует операция объедине­ния множеств.

Для построения соответствующей объединению множеств диаграммы Эйлера-Венна выберем те строки таблицы истинности, в которых AvB=\. Их три. На диаграмме заштрихуем три области, в которых значения А и В та­кие же, как в выбранных строках. ^ _ ч."" " * "о L su J I J

30 ___________________________ Часть 1. Элеиснтвьматематичсекой" логики

Графическая иллюстрация: ».*■.

А В A\jB - множество учеников класса, которые являются отличниками или спортсменами.

j Рассмотрим операцию строгой дизъюнкции (исключающее «или»). i Приведем пример строгой дизъюнкции.

,}■ Пусть даны высказывания:

"■ А = На автостоянке стоит «Мерседес».

>; В = На автостоянке стоят «Жигули».

i {А строгая дизъюнкция В) = На автостоянке стоит «Мврседве»*или

«Жигули». v ?;;

Использование операции «исключающее «или» подразумевает, что на автостоянке может быть либо только «Мерседес», либо только «Жигули», и запрещает ситуацию, когда «Мерседес» и «Жигули» находятся на автосто­янке одновременно.

; . - "4",

Обозначение строгой дизъюнкции: A XOR В; A v В.

глава 3. Логические операции ______________________________________ 31

Из таблицы истинности следует, что операция строгой дизъюнкции истинна тогда и только тогда, когда только одно из высказываний истин­но, и ложна, когда оба высказывания истинны или оба ложны. Иногда это свойство принимают за определение операции строгой дизъюнкции.

Диаграмма Эйлера - Венна, изображающая строгую дизъюнкцию, строится по таблице истинности таким же способом, как и для остальных логических операций.

Графическая иллюстрация:

<ЗЭ

А - множество отличников в классе; В - множество спортсменов в классе;

А у В - множество учеников класса, которые являются либо отличниками, либо спортсменами.

d "W.C . J

Логическое следование (импликация) -wr™

Логическое следование (импликация) образуется соединением двух!,

высказываний в одно с помощью оборота речи «если ..., то ... ». ■

Примеры импликаций: "

Е = Если клятва дана, то она должна выполняться. {

Р = Если число делится на 9, то оно делится на 3. I

В логике допустимо (принято, договорились) рассматривать и бес-.;:

смысленные с житейской точки зрения высказывания. i

Приведем примеры суждений, которые не только правомерно рассмат-j; ривать в логике, но и которые к тому же имеют значение «истина»:

С = Если коровы летают, то 2 + 2 = 5. Х=Еслия - Наполеон, то у кошки четыре ноги.

Обозначение импликации: А -> В; А =э В. (В данном пособии: А =» В.) Говорят: если А, то В; А имплицирует В; А влечет В; В следует из А.

Часть 1. Элементы математической логики

Глава 3. Логические операций f; Л._________________________ 33

Данная операция не так очевидна, как предыдущие. Объяснить ее можно, например, следующим образом.

Пусть даны высказывания: .>--.< а «<, .<-. *>, w "„ihw

Л А = На улице дождь. >..;; j .„ , | Г,., д

В = Асфальт мокрый. ц

(А импликация 2?) = £Ъш на улице дождь, то асфальт мокрый.

Тогда если идет дождь {А = 1) и асфальт мокрый (5=1), то это соот­
ветствует действительности, т. е. истинно. Но если вам скажут, что на
улице идет дождь {А = 1), а асфальт остается сухим (В = 0), то вы посчи­
таете это ложью. А вот когда дождя на улице нет (А = 0), то асфальт
может быть и сухим, и мокрым (например, только что проехала поли­
вальная машина). ъ. ?; t | rfl ]

Таблица

Форма высказывания: если А, то В,

Г SOW ! ,чи , Т " /1

"? , Л ■ и " . "Л \ и ч > < "Л

Лт С.Ч;":\0«1 "

Поясним построение диаграммы. Нас интересует истинность имплика­ции, поэтому выберем те строки таблицы истинности, в которых А => В = 1. Таких строк три. На диаграмме заштрихуем три области, в которых значения А и В такие же, как в выбранных строках:

Из таблицы истинности следует, что импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное (когда истинная предпосылка ведет к ложному выводу). Иногда это свойство принимают за определение операции импликации.

Разберем один из приведенных выше примеров следований, проти­воречащих здравому смыслу.

(А = 0)п(В = 0)

(А = 0)п (В = 1)

(Л = 1)п(Я=1)

Логическое равенство (эквивалентность)

Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединени­ем двух высказываний в одно при помощи оборота речи «... тогда и только тогда, когда ...».

Часть 1. Элементы математической логики^

Глава 3. Логические операции

Примеры эквивалентностей: "

1) Угол называется прямым тогда и ттько тогда, когда он равен 90°.

2) Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда они не пере­секаются. .,

3) Любая материальная точка сохраняет состояние покоя или рав­номерного прямолинейного движения тогда и только тогда, когда нет внешнего воздействия. (Первый закон Ньютона.)

4) Голова думает тогда и только тогда, когда язык отдыхает. (Шутка.)

Все законы математики, физики, все определения суть эквивалент­ность высказываний.

Обозначение эквивалентности: А = В; А <=> В; А ~ В. (В данном пособии: А о В.)

Приведем пример эквивалентности. Пусть даны высказывания:

А = Число делится на 3 без остатка (кратно трем). В = Сумма цифр числа делится нацело на 3.

(А эквивалентно В) = Число кратно 3 тогда и только mogda, когда
сумма его цифр делится нацело на 3. , ;

Пояснение:

А	В	А<^В

Таблица истинности:

	Значение
	высказывания
Смысл высказываний	Число кратно 3
А и В для указанных < значений "*"	тогда и только тогда, когда
*	сумма его цифр делится нацело на 3
Число не	Сумма цифр не	Истина
кратно трем	кратна трем
Число не	Сумма цифр	Ложь
кратно трем	кратна трем
Число кратно	Сумма цифр не	Ложь
трем	кратна трем
Число кратно	Сумма цифр	Истина
трем	кратна трем

Из таблицы истинности следует, что эквивалентность двух высказы­ваний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны. Иногда это свойство принимается за определение операции эквивалентности.

В теории множеств этой операции соответствует операция эквива­лентности множеств.

Для построения соответствующей эквивалентности множеств диаг­раммы Эйлера - Венна выберем те строки таблицы истинности, в кото­рых А <=> В = 1. Их две. На диаграмме заштрихуем две области, в которых значения АнВ такие же, как в выбранных строках.

Графическая иллюстрация: c~J_........ 1л ...Li

Ш ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ

Логическая операция - способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний.

Инверсия (логическое отрицание) образуется из высказывания с по­мощью добавления частицы «не» к сказуемому или использования обо­рота речи «неверно, что...».

Обозначение инверсии: НЕ А; -. A; A; NOT A. >"i, t

Таблица
истинности: ■■■ г -

А	А

Инверсия высказывания истинна, когда выс­
казывание ложно, и ложна, когда высказывание
истинно. ■--■

! t ■ .■ " Н ■

Часть 1. Элементы математической логики

Глава 3. Логические операции

Конъюнкция (логическое умножение) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «и».

Обозначение конъюнкции: А Я В; А Л В; А & В; А ■ В; A AND В.

; (Г">* „*

Эквивалентность (логическое равенство) образуется соединением двух высказываний в одно при помощи оборота речи «... тогда и только тогда, когда...».

Обозначение эквивалентности: А = В; А <=> В; А ~ В.

Таблица истинности:

Эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания ис­тинны или оба ложны.

Дизъюнкция (логическое сложение) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «или». ,

Обозначение дизъюнкции: А ИЛИ В; А \ В; Л V В; А + В.

Таблица истинности:

Импликация (логическое следование) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если..., то...». Обозначение импликации: А-> В;А=$ В.

Опорный конспект «Свойства логических операций»

Таблица истинности:

А	В	А^В

Импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное.

Ч1я" | ; - VI

. ..,.. . , .-. . if . .................. --,-

■*}■

<Ч. 1

Похожая информация.

Логическое сложение (дизъюнкция)

Логическое сложение - одна из трех базовых операций логической алгебры.

Соединение двух (или нескольких) высказываний союзом ИЛИ называется дизъюнкцией или логическим сложением . Логическое сложение схоже с союзом ИЛИ в естественном языке, если он употребляется в смысле «или то, или это, или оба сразу». Операцию логического сложения часто называют операцией ЛОГИЧЕСКОГО ИЛИ .

Высказывание А+В истинно (равно 1) тогда, когда истинно хотя бы одно из входящих в него высказываний А или В, и ложно только тогда, когда ложны оба слагаемых (равны 0).

0 + 0 = 0 1 + 1 = 1

Следует обратить внимание на то, что при сложении двух логических единиц получается логическая единица. Алгебра логики оперирует только двумя значениями - ложью (логический 0) и истиной (логическая 1). Истина не может быть двойной или истиной в квадрате, поэтому при сложении двух истин мы получаем просто истину. Точно также при сложении двух логических сигналов высокого уровня мы получаем логический сигнал высокого уровня.

Дизъюнкция обозначается символом v или знаком сложения (+).

Правила логического сложения двух высказываний можно свести в следующую таблицу:

A	B	A + B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Такая таблица называется таблицей истинности для дизъюнкции.

Нетрудно увидеть, что первые три строки таблицы соответствуют правилам сложения двоичных чисел в одном разряде без учета и образования переноса.

Дизъюнкция n переменных ложна тогда и только тогда, когда все составляющие ее переменные ложны.

В логических схемах BEAM-роботов логическое ИЛИ используется для согласования двух логических сигналов.

Другие базовые операции в алгебре логики