Нестрогая и строгая дизъюнкция
Поскольку связка «или» употребляется в естественном языке в двух значениях – соединительно-разделительном и исключающе-разделительном, то следует различать два типа разделительных суждений: 1) нестрогую (слабую) дизъюнкцию и 2) строгую (сильную) дизъюнкцию.
Нестрогая дизъюнкция – суждение, в котором связка «или» употребляется в соединительно-разделительном значении (символ ?). Напр.: «Холодное оружие может быть колющим или режущим» – символически р ? q. Связка «или» в данном случае разделяет, поскольку отдельно существуют такие виды оружия, и соединяет, ибо есть оружие, одновременно и колющее, и режущее.
Нестрогая дизъюнкция будет истинна при истинности хотя бы одного члена дизъюнкции и ложна, если оба ее члена будут ложны.
Строгая дизъюнкция – суждение, в котором связка «или» употребляется в разделительном значении (символ – двойная дизъюнкция). Напр.: «Деяние может быть умышленным или неосторожным», символически.
Члены строгой дизъюнкции, называемые альтернативами, не могут быть одновременно истинными. Если деяние совершено умышленно, то его нельзя считать неосторожным, и, наоборот, деяние, совершенное по неосторожности, не может быть отнесено к умышленным.
Строгая дизъюнкция будет истинна при истинности одного и ложности другого члена; она будет ложна, если оба члена истинны или оба ложны. Таким образом, суждение строгой дизъюнкции будет истинным при истинности одной альтернативы и ложным как при одновременной ложности, так и одновременной истинности альтернатив.
Разделительная связка в языке обычно выражается с помощью союзов «или», «либо». С целью усиления дизъюнкции до альтернативного значения нередко употребляют удвоенные союзы: вместо выражения «р или q» употребляют «или р, или q», а вместе «р либо q» – «либо р, либо q». Поскольку в грамматике отсутствуют однозначные союзы для нестрогого и строгого разделения, то вопрос о типе дизъюнкции в юридических и других текстах должен решаться содержательным анализом соответствующих суждений.
Полная и неполная дизъюнкция
Полным или закрытым называют дизъюнктивное суждение, в котором перечислены все признаки или все виды определенного рода.
Символически это суждение можно записать следующим образом: < р ? q ? r >. Напр.: «Леса бывают лиственные, хвойные или смешанные». Полнота этого разделения (в символической записи обозначается знаком < … >) определяется тем, что не существует помимо указанных, других видов лесов.
Неполным, или открытым, называют дизъюнктивное суждение, в котором перечислены не все признаки или не все виды определенного рода. В символической записи неполнота дизъюнкции может быть выражена многоточием: р ? q ? r ? … В естественном языке неполнота дизъюнкции выражается словами: «и т. д.», «и др.», «и тому подобное», «иные» и др.
Логическое сложение (дизъюнкция) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «или».
В русском языке союз «или» используется в двояком смысле.
Например, в предложении Обычно в 8 вечера я смотрю телевизор или пью чай союз «или» взят в неисключающем (объединительном) смысле, так как вы можете только смотреть телевизор или только пить чай, но вы можете также пить чай и смотреть телевизор одновременно, потому что мама у вас нестрогая. Такая операция называется нестрогой дизъюнкцией. (Если бы мама была строгая, то она разрешила бы или только смотреть телевизор, или только пить чай, но не совмещать прием пищи с просмотром телепередач.)
В высказывании Данный глагол I или II спряжения
союз «или» ис
пользуется в исключающем (разделительном)
смысле. Такая операция
называется строгой дизъюнкцией.
. ,. ,-> „ ,... > (, г>
Примеры строгих и нестрогих дизъюнкций:
| Высказывание | Вид дизъюнкции |
| Петя сидит на западной или восточной трибуне стадиона | Строгая |
| Студент едет в электричке или читает книгу | Нестрогая |
| Оля любит писать сочинения или решать логические задачи | Нестрогая |
| Сережа учится в школе или окончил ее | Строгая |
| Завтра дождь будет или не будет (третьего не дано) | Строгая |
| Давайте бороться за чистоту. Чистота достигается так: или не сорить, или часто убирать | Нестрогая |
| Зелия движется по круговой или эллиптической орбите | Строгая |
| Числа можно складывать или перемножать | Нестрогая |
| Дети бывают или воспитанные, или не наши | ? |
Обозначение нестрогой дизъюнкции: А ИЛИ В; A OR В; А | В; А V В; А + В. (В данном пособии: А V В.)
Приведем пример дизъюнкции двух простых высказываний.
Допустим, из вашего окна видна автостоянка, на которой обычно стоят две машины: «Мерседес» и «Жигули», но может находиться и какая-то одна из них или не быть ни одной.
Обозначим высказывания:
А = На автостоянке стоит «Мерседес». В = На автостоянке стоят «Жигули».
(А дизъюнкция В) = На автостоянке стоит «Мерседес» или «Жигули».
Глава 3. Логичздуие операции ____________ [___________________________ Щ
Таблица., ^»-«н..;ч; i ■.■;- >i ,;,
Из таблицы истинности следует, что дизъюнкция двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны, и истинна, когда хотя бы одно высказывание истинно. Иногда это свойство принимают за определение операции дизъюнкции.
Мнемоническое правило: дизъюнкция - это логическое сложение, и мы не сомневаемся, что вы заметили, что равенства 0 + 0 = 0; 0+1 = 1;1+0=1, верные для обычного сложения, верны и для операции дизъюнкции, но 1 V 1 = 1.
В слове «конъюнкция» одна буква «и», а в слове «дизъюнкция» две буквы «и», как и в слове «или».
V Л-Символ V (дизъюнкция) образован из первой буквы латинского слова Vel («или»).
«Диз» - «галочка вниз» - V.
В теории множеств дизъюнкции соответствует операция объединения множеств.
Для построения соответствующей объединению множеств диаграммы Эйлера-Венна выберем те строки таблицы истинности, в которых AvB=\. Их три. На диаграмме заштрихуем три области, в которых значения А и В такие же, как в выбранных строках. ^ _ ч."" " * "о L su J I J
30 ___________________________ Часть 1. Элеиснтвьматематичсекой" логики
Графическая иллюстрация: ».*■.
А В A\jB - множество учеников класса, которые являются отличниками или спортсменами.
j Рассмотрим операцию строгой дизъюнкции (исключающее «или»). i Приведем пример строгой дизъюнкции.
,}■ Пусть даны высказывания:
"■ А = На автостоянке стоит «Мерседес».
>; В = На автостоянке стоят «Жигули».
i {А строгая дизъюнкция В) = На автостоянке стоит «Мврседве»*или
«Жигули». v ?;;
Использование операции «исключающее «или» подразумевает, что на автостоянке может быть либо только «Мерседес», либо только «Жигули», и запрещает ситуацию, когда «Мерседес» и «Жигули» находятся на автостоянке одновременно.
; . - "4",
Обозначение строгой дизъюнкции: A XOR В; A v В.
глава 3. Логические операции ______________________________________ 31
Из таблицы истинности следует, что операция строгой дизъюнкции истинна тогда и только тогда, когда только одно из высказываний истинно, и ложна, когда оба высказывания истинны или оба ложны. Иногда это свойство принимают за определение операции строгой дизъюнкции.
Диаграмма Эйлера - Венна, изображающая строгую дизъюнкцию, строится по таблице истинности таким же способом, как и для остальных логических операций.
Графическая иллюстрация:
| <ЗЭ |
А - множество отличников в классе; В - множество спортсменов в классе;
А у В - множество учеников класса, которые являются либо отличниками, либо спортсменами.
d "W.C . J
Логическое следование (импликация) -wr™
Логическое следование (импликация) образуется соединением двух!,
высказываний в одно с помощью оборота речи «если ..., то ... ». ■
Примеры импликаций: "
Е = Если клятва дана, то она должна выполняться. {
Р = Если число делится на 9, то оно делится на 3. I
В логике допустимо (принято, договорились) рассматривать и бес-.;:
смысленные с житейской точки зрения высказывания. i
Приведем примеры суждений, которые не только правомерно рассмат-j; ривать в логике, но и которые к тому же имеют значение «истина»:
С = Если коровы летают, то 2 + 2 = 5. Х=Еслия - Наполеон, то у кошки четыре ноги.
Обозначение импликации: А -> В; А =э В. (В данном пособии: А =» В.) Говорят: если А, то В; А имплицирует В; А влечет В; В следует из А.
Часть 1. Элементы математической логики
Глава 3. Логические операций f; Л._________________________ 33
Данная операция не так очевидна, как предыдущие. Объяснить ее можно, например, следующим образом.
Пусть даны высказывания: .>--.< а «<, .<-. *>, w "„ihw
Л А = На улице дождь. >..;; j .„ , | Г,., д
В = Асфальт мокрый. ц
(А импликация 2?) = £Ъш на улице дождь, то асфальт мокрый.
Тогда если идет дождь {А
= 1) и асфальт мокрый (5=1), то это соот
ветствует действительности, т. е. истинно. Но если вам скажут, что на
улице идет дождь {А
= 1), а асфальт остается сухим (В =
0), то вы посчи
таете это ложью. А вот когда дождя на улице нет (А
= 0), то асфальт
может быть и сухим, и мокрым (например, только что проехала поли
вальная машина). ъ. ?; t | rfl ]
Таблица
Форма высказывания: если А, то В,
Г SOW ! ,чи , Т " /1
"? , Л ■ и " . "Л \ и ч > < "Л
Лт С.Ч;":\0«1 "
 |
 |
Поясним построение диаграммы. Нас интересует истинность импликации, поэтому выберем те строки таблицы истинности, в которых А => В = 1. Таких строк три. На диаграмме заштрихуем три области, в которых значения А и В такие же, как в выбранных строках:
Из таблицы истинности следует, что импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное (когда истинная предпосылка ведет к ложному выводу). Иногда это свойство принимают за определение операции импликации.
Разберем один из приведенных выше примеров следований, противоречащих здравому смыслу.
| (А = 0)п(В = 0) |
| (А = 0)п (В = 1) |
(Л = 1)п(Я=1)
Логическое равенство (эквивалентность)
Логическое равенство (эквивалентность) образуется соединением двух высказываний в одно при помощи оборота речи «... тогда и только тогда, когда ...».
Часть 1. Элементы математической логики^
Глава 3. Логические операции
Примеры эквивалентностей: "
1) Угол называется прямым тогда и ттько тогда, когда он равен 90°.
2) Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда они не пересекаются. .,
3) Любая материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения тогда и только тогда, когда нет внешнего воздействия. (Первый закон Ньютона.)
4) Голова думает тогда и только тогда, когда язык отдыхает. (Шутка.)
Все законы математики, физики, все определения суть эквивалентность высказываний.
Обозначение эквивалентности: А = В; А <=> В; А ~ В. (В данном пособии: А о В.)
Приведем пример эквивалентности. Пусть даны высказывания:
А = Число делится на 3 без остатка (кратно трем). В = Сумма цифр числа делится нацело на 3.
(А
эквивалентно В) = Число кратно 3 тогда и только mogda, когда
сумма его цифр делится нацело на 3.
, ;
| Пояснение: |
| А | В | А<^В |
Таблица истинности:
| Значение | ||
| высказывания | ||
| Смысл высказываний | Число кратно 3 | |
| А и В для указанных < значений "*" | тогда и только тогда, когда | |
| * | сумма его цифр делится нацело на 3 | |
| Число не | Сумма цифр не | Истина |
| кратно трем | кратна трем | |
| Число не | Сумма цифр | Ложь |
| кратно трем | кратна трем | |
| Число кратно | Сумма цифр не | Ложь |
| трем | кратна трем | |
| Число кратно | Сумма цифр | Истина |
| трем | кратна трем |
Из таблицы истинности следует, что эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны. Иногда это свойство принимается за определение операции эквивалентности.
В теории множеств этой операции соответствует операция эквивалентности множеств.
Для построения соответствующей эквивалентности множеств диаграммы Эйлера - Венна выберем те строки таблицы истинности, в которых А <=> В = 1. Их две. На диаграмме заштрихуем две области, в которых значения АнВ такие же, как в выбранных строках.
Графическая иллюстрация: c~J_........ 1л ...Li
Ш ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И ОПРЕДЕЛЕНИЯ
Логическая операция - способ построения сложного высказывания из данных высказываний, при котором значение истинности сложного высказывания полностью определяется значениями истинности исходных высказываний.
Инверсия (логическое отрицание) образуется из высказывания с помощью добавления частицы «не» к сказуемому или использования оборота речи «неверно, что...».
Обозначение инверсии: НЕ А; -. A; A; NOT A. >"i, t
Таблица
истинности: ■■■ г -
| А | А |
Инверсия высказывания истинна, когда выс
казывание ложно, и ложна, когда высказывание
истинно. ■--■
! t ■ .■ " Н ■
Часть 1. Элементы математической логики
Глава 3. Логические операции
Конъюнкция (логическое умножение) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «и».
Обозначение конъюнкции: А Я В; А Л В; А & В; А ■ В; A AND В.
; (Г">* „*
Эквивалентность (логическое равенство) образуется соединением двух высказываний в одно при помощи оборота речи «... тогда и только тогда, когда...».
Обозначение эквивалентности: А = В; А <=> В; А ~ В.
Таблица истинности:
Эквивалентность двух высказываний истинна тогда и только тогда, когда оба высказывания истинны или оба ложны.
Дизъюнкция (логическое сложение) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью союза «или». ,
Обозначение дизъюнкции: А ИЛИ В; А \ В; Л V В; А + В.
Таблица истинности:
Импликация (логическое следование) образуется соединением двух высказываний в одно с помощью оборота речи «если..., то...». Обозначение импликации: А-> В;А=$ В.
Опорный конспект «Свойства логических операций»
Таблица истинности:
| А | В | А^В |
Импликация двух высказываний ложна тогда и только тогда, когда из истинного высказывания следует ложное.
Ч1я" | ; - VI
. ..,.. . , .-. . if . .................. --,-
■*}■
<Ч. 1
Похожая информация.
Конъюнкция: соответствует союзу: «и», обозначается знаком^, обозначает логическое умножение.
Конъюнкция двух логических ~ истинна тогда и только тогда, когда оба высказываний истинны. Можно обобщить для любого количества переменных А^В^С = 1 если А=1, В=1, С=1.
Таблица истинности для операции «Конъюнкция»:
Таблица №2
Дизъюнкция
Логическая операция соответствует союзу ИЛИ, обозначается знаком v, иначе называется ЛОГИЧЕСКОЕ СЛОЖЕНИЕ.
Дизъюнкция двух логических переменных ложна тогда и галька тогда, когда оба высказывания ложны.
Это определение можно обобщить для любого количества логических переменных, объединенных дизъюнкцией.
A v В v С = 0, только если А = О, В = О, С - 0.
Таблица истинности для операции «Дизъюнкция»:
Таблица №3
Инверсия
Логическая операция соответствует частице не, обозначается ¬ или ¯ и является логическим отрицанием.
Инверсия логической переменной истинна, если переменная ложна и наоборот: инверсия ложна, если переменная истинна.
Таблица истинности для операции «Инверсия»:
Таблица №5
Эквивалентность «А тогда В и только тогда», обозначается А ~ В
Таблица №6
При вычислении значения логического выражения (формулы) логические операции вычисляются в определенном порядке, согласно их приоритету:
инверсия;
конъюнкция;
дизъюнкция;
импликация и эквивалентность;
Операции одного приоритета выполняются слева направо. Для изменения порядка действий используются скобки.
Формализация высказываний
Естественные языки используются для создания описательных информационных моделей. В истории науки известны многочисленные описательные информационные модели; например, гелиоцентрическая модель мира, которую предложил Коперник, формулировалась следующим образом:
Земля вращается вокруг своей оси и вокруг Солнца;
орбиты всех планет проходят вокруг Солнца;
С помощью формальных языков строятся формальные информационные модели (математические, логические и др.). Одним из наиболее широко используемых формальных языков является математика. Модели, построенные с использованием математических понятий и формул, называются математическими моделями. Язык математики является совокупностью формальных языков.
Язык алгебры позволяет формализовать функциональные зависимости между величинами. Так, Ньютон формализовал гелиоцентрическую систему мира, открыв законы механики и закон всемирного тяготения и записав их в виде алгебраических функциональных зависимостей. Например, в школьном курсе физики рассматривается много разнообразных функциональных зависимостей, выраженных на языке алгебры, которые представляют собой математические модели изучаемых явлений или процессов.
Язык алгебры логики (алгебры высказываний) позволяет строить формальные логические модели. С помощью алгебры высказываний можно формализовать (записать в виде логических выражений) простые и сложные высказывания, выраженные на естественном языке. Построение логических моделей позволяет решать логические задачи, строить логические модели устройств компьютера (сумматора, триггера) и так далее.
Процесс построения информационных моделей с помощью формальных языков называется формализацией.
В процессе познания окружающего мира человечество постоянно использует моделирование и формализацию. При изучении нового объекта сначала обычно строится его описательная информационная модель на естественном языке, затем она формализуется, то есть выражается с использованием формальных языков (математики, логики и др.).
Дизъюнкция
Дизъю́нкция - (лат. disjunctio - разобщение) логическая операция , по своему применению максимально приближённая к союзу «или» в смысле «или то, или это, или оба сразу». Синонимы: логи́ческое «ИЛИ» , включа́ющее «ИЛИ» , логи́ческое сложе́ние , иногда просто «ИЛИ» .
Дизъюнкция может быть бинарной
операцией, то есть, иметь два операнда, тернарной
операцией, то есть иметь три операнда или n-арной
операцией, то есть иметь n операндов.
Запись может быть префиксной
- знак операции стоит перед операндами (польская запись), инфиксной
- знак операции стоит между операндами или постфиксной
- знак операции стоит после операндов. При числе операндов более 2-х префиксная и постфиксная записи экономичнее.
Чаще всего встречаются следующие варианты записи:
|| | .
Булева алгебра
Определение.
Логическая функция MAX
в двухзначной (двоичной) логике называется дизъюнкция
(логи́ческое "ИЛИ"
, логи́ческое сложе́ние
или просто "ИЛИ"
).
Правило: результат равен наибольшему операнду.
Описание.
В булевой алгебре дизъюнкция - это функция двух, трёх или более переменных (они же - операнды операции, они же - аргументы функции).
Правило: результат равен , если все операнды равны ; во всех остальных случаях результат равен .
| Таблица истинности | ||
|---|---|---|
Таблица истинности для тернарной (трёхоперандной) дизъюнкции:
| X | Y | Z | X Y Z |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Многозначная логика
Операция, называемая в двоичной логике дизъюнкция
, в многозначных логиках называется максимум
: , где , а - значность логики. Возможны и другие варианты. Как правило, стараются сохранить совместимость с булевой алгеброй для значений операндов .
Следует отметить, что название этой операции максимум имеет смысл в логиках с любой значностью, в том числе и в двоичной логике, а названия дизъюнкция , логи́ческое "ИЛИ" , логическое сложе́ние и просто "ИЛИ" имеют смысл только в двоичной логике, а при переходе к многозначным логикам теряют смысл.
Классическая логика
В классическом исчислении высказываний свойства дизъюнкции определяются с помощью аксиом . Классическое исчисление высказываний может быть задано разными системами аксиом, и некоторые из них будут описывать свойства дизъюнкции. Один из самых распространённых вариантов включает 3 аксиомы для дизъюнкции:
С помощью этих аксиом можно доказать другие формулы, содержащие операцию дизъюнкции. Обратите внимание, что в классическом исчислении высказываний не происходит вычисления результата по значениям операндов (как в булевой алгебре), а требуется доказать формулу как единое целое на основе аксиом и правил вывода. Высоко летать-больно падать
Схемотехника
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
Мнемоническое правило для дизъюнкции с любым количеством входов звучит так: На выходе будет:
- "1" тогда и только тогда, когда хотя бы на одном входе есть «1»,
- "0" тогда и только тогда, когда на всех входах «0»
Программирование
В компьютерных языках используется два основных варианта дизъюнкции: логическое «ИЛИ» и побитовое «ИЛИ». Например, в языках C/C++ логическое «ИЛИ» обозначается символом "||", а побитовое - символом "|". В языках Pascal/Delphi оба вида дизъюнкции обозначаются с использованием ключевого слова «or », а результат действия определяется типом операндов. Если операнды имеют логический тип (например, Boolean) - выполняется логическая операция, если целочисленный (например, Byte) - поразрядная.
Логическое «ИЛИ» применяется в операторах условного перехода или в аналогичных случаях, когда требуется получение результата или . Например:
If (a || b) { /* какие-то действия */ } ;
Результат будет равен , если оба операнда равны или . В любом другом случае результат будет равен .
При этом применяется стандартное соглашение: если значение левого операнда равно , то значение правого операнда не вычисляется (вместо может стоять сложная формула). Такое соглашение ускоряет исполнение программы и служит полезным приёмом в некоторых случаях. Компилятор Delphi поддерживает специальную директиву, включающую
{$B-}
или выключающую
{$B+}
подобное поведение. Например, если левый операнд проверяет необходимость вычисления правого операнда:
If (a == NULL || a-> x == 0 ) { /* какие-то действия */ } ;
В этом примере, благодаря проверке в левом операнде, в правом операнде никогда не произойдёт разыменования нулевого указателя.
Побитовое «ИЛИ» выполняет обычную операцию булевой алгебры для всех битов левого и правого операнда попарно. Например,
| если | |
| a = | |
| b = | |
| то | |
| a ИЛИ b = |
Связь с естественным языком
Часто указывают на сходство между дизъюнкцией и союзом «или» в естественном языке, когда он употребляется в смысле «или то, или то, или оба сразу». В юридических документах часто пишут: «и/или», подразумевая «или то, или то, или оба сразу». Составное утверждение «A и/или B» считается ложным, когда ложны оба утверждения A и B, в противном случае составное утверждение истинно. Это в точности соответствует определению дизъюнкции в булевой алгебре, если «истину» обозначать как , а «ложь» как .
Неоднозначность естественного языка заключается в том, что союз «или» используется в двух значениях: то для обозначения дизъюнкции, то для другой операции -